¿De qué forma son los datos?
Imagina una nube de puntos en el plano. ¿Tiene forma de anillo? ¿De ocho? ¿De tres grupos separados? Esa pregunta — cuál es la forma de los datos — es lo que responde el análisis topológico.
La topología estudia propiedades de los objetos que sobreviven a deformaciones continuas: estirar, doblar, comprimir, pero no romper. Una taza de café y una rosquilla son topológicamente la misma cosa porque cada una tiene exactamente un agujero. Lo que importa no es la métrica — son los invariantes topológicos.
El TDA (Topological Data Analysis) lleva esta idea a conjuntos finitos de datos. Como una nube de puntos no tiene "forma" por sí sola, se construye una familia de formas conectando puntos cercanos a distintas escalas, y se rastrea cuáles agujeros sobreviven a lo largo de la familia.
Complejos simpliciales
El TDA construye sus formas con simplices — generalizaciones de los triángulos a cualquier dimensión.
0-simplex
Punto
El bloque base. Un vértice aislado. Cada dato observado es un 0-simplex.
1-simplex
Arista
Une dos vértices. Codifica una relación: "estos dos puntos están cerca según mi métrica".
2-simplex
Triángulo
Un triángulo relleno. Aparece cuando tres puntos son mutuamente cercanos. Es la unidad clave para "tapar" agujeros.
3-simplex
Tetraedro
Un sólido de cuatro caras. Captura "agujeros tridimensionales". En general un k-simplex se forma con k+1 puntos.
Un complejo simplicial es un pegado consistente de simplices: cada vez que incluimos un triángulo, también deben estar sus tres aristas y sus tres vértices. La forma de un complejo simplicial es lo que nos permite hablar de "agujeros".
Filtración Vietoris–Rips
Una nube de puntos sola no tiene forma. La filtración construye una familia de complejos simpliciales, indexada por una escala ε creciente.
Concretamente, el complejo de Vietoris–Rips VRε(X) conecta dos puntos con una arista si su distancia es ≤ ε; agrega un triángulo si tres puntos son mutuamente ≤ ε; un tetraedro si cuatro lo son; y así sucesivamente.
Conforme ε crece, el complejo crece — y aparecen nuevas características topológicas (componentes que se fusionan, ciclos que se cierran, cavidades que se tapan). La filtración es la secuencia ordenada de estos cambios.
Grupos de homología
Los números de Betti son los invariantes que cuentan agujeros de cada dimensión. Son enteros, no negativos, y no dependen de cómo dibujes la forma.
Una esfera tiene β₀ = 1, β₁ = 0, β₂ = 1. Una rosquilla (toro) tiene β₀ = 1, β₁ = 2, β₂ = 1. Dos rosquillas separadas: β₀ = 2, β₁ = 4, β₂ = 2. Esto es todo lo que la topología necesita saber para distinguirlas.
Persistencia · ¿qué barras son largas?
A medida que ε crece, cada agujero nace en un valor y muere en otro. Los que persisten muchas escalas son reales; los que aparecen y desaparecen rápido son ruido del muestreo.
Esto se codifica como un barcode: una barra por cada característica, que va desde su nacimiento hasta su muerte. Es la firma topológica completa de los datos.
Para licenciatura — complejo VR, homología simplicial y persistencia
Dado un conjunto finito de puntos X ⊂ ℝn y un parámetro ε ≥ 0, el complejo de Vietoris–Rips VRε(X) es el complejo simplicial cuyos k-simplices son los subconjuntos de k+1 puntos con diámetro a lo más ε.
Para cada dimensión k, se construye el espacio vectorial Ck generado por los k-simplices, y un operador frontera ∂k: Ck → Ck−1. La k-ésima homología es:
Hk = ker(∂k) / im(∂k+1)
El número de Betti βk = dim Hk cuenta los agujeros k-dimensionales. La homología persistente rastrea cómo cambian estos agujeros a lo largo de la filtración VRε(X) ↪ VRε′(X) para ε ≤ ε′. El resultado se codifica en el diagrama de persistencia o barcode.
ref. Edelsbrunner & Harer — Computational Topology: An Introduction, AMS (2010). Carlsson — Topology and data, BAMS (2009).